Teorema de Bayes

Tudo que você precisa saber sobre o Teorema de Bayes

O teorema de Bayes tem como função descrever a probabilidade de um evento. Isto é realizado utilizando um conhecimento prévio e considera que o nosso entendimento sobre o mundo é imperfeito e os dados que coletamos estão impregnados de ruídos. Com isso, a configuração pode nos levar a conclusões errôneas.

Muito bem estruturado, ele ainda é importante, embora tenha sido criado há mais de dois séculos. Para quem trabalha com a tecnologia atual, ele é especialmente relevante.

Ficou interessado em saber mais sobre esse assunto? Então, continue acompanhando nosso artigo e explore o teorema de Bayes!

Afinal, o que é esse teorema?

O teorema de Bayes é uma igualdade simples que vem da afirmação de que prob(A e B) = prob(B e A)

Ele é útil para quando se faz necessário interpretar uma regra para indução, ou seja, os dados e o evento A são considerados como sucessores de B, o grau de crença anterior à realização do experimento.

O teorema de Bayes permite fazer inferências a partir dos dados, em vez de apenas computá-los. Dessa forma, considera todas as informações relevantes sobre o problema.

Nos casos em que há duas amostras, é necessário determinar se suas médias são diferentes. A combinação da interpretação de probabilidades como uma medida consistente de crença, mais o teorema de Bayes, permite que se responda à questão: apresentado os dados, quais são as probabilidades dos parâmetros contidos no nosso modelo estatístico?

Com o teorema de Bayes é possível se chegar a um resultado imediato da regra do produto de probabilidades. Pode ser deduzido de maneira muito mais rigorosa pelos axiomas lógicos de Cox.

Quando temos dois eventos condicionados A e B, pode-se encontrar qual é a probabilidade conjunta desses dois eventos ocorrerem.

Basicamente, a probabilidade conjunta dos eventos A e B ocorrerem é igual à probabilidade do evento B ocorrer multiplicado pela probabilidade do evento A ocorrer dado que o evento B ocorreu.

Como ele foi criado?

O matemático inglês Thomas Bayes foi o responsável pelo estudo sobre como calcular a distribuição para o parâmetro de probabilidade de uma distribuição binomial.

Em 1977, o matemático francês Pierre-Simon Laplace reproduziu e estendeu os resultados de Bayes. A interpretação bayesiana da probabilidade foi desenvolvida, principalmente, por Laplace. Ele também foi o primeiro a empregar o método em problemas de física.

Laplace desenvolveu métodos para medir as órbitas e massas de Júpiter e Saturno, a despeito da imprecisão dos instrumentos da época.

Já em 1983, o teorema de Bayes foi trabalhado pelo matemático inglês Nicholas Saunderson, embora sua interpretação tenha sido contestada.

Como ele funciona?

O funcionamento do teorema de Bayes é mais simples do que aparenta. Sua definição formal parece complexa, mas, na verdade, a relação é básica. Ele busca calcular quais são as chances de um evento B acontecer, sabendo que a ação já ocorreu.

Para chegar ao resultado, portanto, é preciso ter uma informação concreta e saber o que aconteceu previamente. Pense, por exemplo, em uma questão simples:

Qual a probabilidade de uma mulher estar grávida após receber um resultado positivo?

Nesse caso, o evento A é o resultado positivo do exame. Você sabe que ele já ocorreu, então pode contar com ele na fórmula. Trata-se do chamado “grau de crença”, ou seja, da sua observação e conhecimento prévio.

O evento B está relacionado ao primeiro, já que um exame positivo pode indicar a gravidez. No entanto, também há a chance de ser um resultado incorreto ou trocado. Portanto, existe a chamada probabilidade condicional: se A ocorreu, quais as chances de B também ocorrer?

O cálculo se baseia em variáveis conhecidas e em apenas uma desconhecida. Graças a ele, é possível identificar quais são as chances de um determinado evento, como é a relação entre eles e assim por diante.

Como é feito o cálculo?

O cálculo também é mais fácil que parece. Para encontrar a relação entre probabilidade e Teorema de Bayes, a fórmula é a seguinte:

P (A|B) = [P (B|A) x P (A)] / P (B)

Os elementos são os que seguem:

P (B|A): probabilidade de B ocorrer já que A aconteceu;

P (A): probabilidade de A acontecer e

P (B): probabilidade de B acontecer.

Um exemplo clássico tem a ver com biologia. Pense em um casal que tem dois filhos, sendo que um deles é uma menina. Eles desejam saber quais são as probabilidades que a segunda também será do sexo feminino?

Nesse caso, temos:

P (A) = probabilidade que as duas sejam meninas = 1/4

P (B) = probabilidade de ter uma filha = 3/4

P (B|A) = 1

Nesse caso, o cálculo será:

P (A/B) = [(1 x 1/4)]/(3/4)

P (A/B) = 1/3

Ou seja, há 33,3% de chances de o segundo filho ser uma menina.

Qual é a sua aplicação prática?

Como possibilita a inferência de dados a partir de informações prévias, o teorema de Bayes tem, na verdade, diversas aplicações práticas. Uma delas é a inferência bayesiana, ou seja, uma abordagem particular da inferência estatística. Quando utilizado, os elementos envolvidos no teorema de Bayes podem ter diferentes interpretações de probabilidade.

Com a abordagem bayesiana, o teorema expressa como a probabilidade de um evento, ou o grau de crença na ocorrência de um evento, deve ser alterada após considerar evidências sobre a ocorrência deste elemento.

Um exemplo muito claro é o dos exames diagnósticos — como o de gravidez, que citamos. A princípio, a probabilidade poderia ser de 50% — apenas “sim” ou “não”. No entanto, há outros eventos que devem ser considerados, como falsos positivos e detecção insuficiente. Essas novas ocorrências alteram a chance de alguém estar grávida após receber o papel.

A característica de inferência, portanto, permite que o teorema secular seja aplicado em diversas análises e cenários, como nas empresas. É uma forma de entender melhor o ambiente ao redor, bem como de compreender quais são os aspectos com maior influência sobre uma determinada ocorrência.

Como a tecnologia tem utilizado o teorema de Bayes?

Com o avanço da tecnologia, há um aumento no volume de dados gerados por empresas e pessoas. Essas informações precisam ser contextualizadas, cruzadas e avaliadas para que seja possível encontrar a relação entre elas.

A inferência bayesiana pode ser usada nesse sentido e, por isso, é aplicada na construção de diversos algoritmos. Na análise de cenários, extrapolação de dados e avaliações de riscos, o teorema ajuda os algoritmos a darem uma resposta mais precisa.

A crescente onda de inteligência artificial e de machine learning aumenta a capacidade das máquinas e faz com que a proposta de Bayes seja ainda mais útil. Por isso, o recurso pode ser usado em diversas ferramentas que utilizam a análises de eventos para entender as probabilidades de certas ocorrências.

Quais são os outros teoremas de probabilidade?

Apesar do pioneirismo, a abordagem bayesiana caiu em esquecimento nas ciências, sendo preterida pela frequentista. Esta possibilidade ainda é hegemônica, mas graças ao grande aumento na capacidade de processamento dos computadores, a opção bayesiana tem renascido com grande força.

Como a relação entre probabilidade e teorema de Bayes não é a única, vale conhecer as outras ferramentas que indicam as chances de um determinado evento acontecer.

Os Modelos de Espaços de Estados, por exemplo, servem para analisar conjuntos e sequências de dados em determinado período. Trata-se de uma maneira de incluir novas informações conforme elas são geradas ou conhecidas, o que melhora o dinamismo e “calibra” a precisão.

Já os Modelos Gaussianos utilizam informações iniciais e distribuições conjuntas. A partir de uma relação de independência, consegue visualizar padrões e acompanhar elementos como variância e desvio padrão.

Também há outras técnicas estatísticas e modelos mais avançados e que permitem utilizar conjuntos maiores e mais diversos de dados. Isso é cada vez mais importante em um cenário em que há muita informação disponível e uma necessidade ainda maior de entender o que tudo significa.

Como escolher a alternativa ideal?

Já que probabilidade e teorema de Bayes não são assuntos exclusivamente relacionados, a análise de cenários pode utilizar outras ferramentas. Para tanto, é preciso escolher corretamente a opção que vai atender ao conjunto de dados e às informações necessárias.

Se for necessário fazer uma análise de crédito, por exemplo, o teorema pode ser aplicado com a tecnologia. No entanto, outros modelos demonstram ser ainda mais eficientes, então é um caso a se pensar.

Caso não haja conhecimento específico de certas possibilidades, o cálculo se torna impossível. Esse também é um cenário que exige a busca por uma alternativa. Assim, os resultados tendem a ser melhores e mais confiáveis.

A escolha depende, exclusivamente, dos objetivos com a análise e das informações que estão disponíveis. A partir desse aspecto, fica mais fácil conseguir um entendimento completo sobre o que significa cada conjunto de dados.

Qual é o papel da capacitação?

Seja para escolher qual método usar, seja para aplicar o teorema de Bayes, é essencial aumentar a sua capacitação. Entender modelos estatísticos, compreender o conceito de probabilidade e reconhecer quais aspectos devem ser observados é fundamental para utilizar o melhor dos modelos.

Ao mesmo tempo, é comum que a graduação não ofereça uma abordagem tão intensa e direcionada. Nesse caso, o melhor é realizar cursos e buscar a capacitação em outros meios.

Com a educação continuada e os estudos na área, dá para ter cada vez mais eficiência no tratamento de informações e nas inferências probabilísticas.

O teorema de Bayes é um dos modelos mais antigos e consagrados da chamada probabilidade condicional. Embora seja aplicado na tecnologia, ele vem sendo substituído por outros modelos mais avançados. Independentemente da escolha, é essencial buscar a atualização profissional e acompanhar as mudanças para ter sucesso.

Se quiser reforçar seus conhecimentos sobre o controle de qualidade, baixe gratuitamente nosso e-book sobre o Diagrama de Ishikawa!